Fiszki: Kombinatoryka i prawdopodobieństwo: wzory

Question 1

Jak definiuje się silnię n! liczby całkowitej dodatniej n?

Accepted Answer

n! = 1 ⋅ 2 ⋅ … ⋅ n

Question 2

Ile wynosi 0! (przyjęta umowa)?

Accepted Answer

0! = 1

Question 3

Jak (n + 1)! wyraża się przez n! (dla całkowitego n ≥ 0)?

Accepted Answer

(n + 1)! = n! ⋅ (n + 1)

Question 4

Jak definiuje się symbol Newtona (n nad k) dla całkowitych n, k, gdzie 0 ≤ k ≤ n?

Accepted Answer

(n nad k) = n! / (k! ⋅ (n − k)!)

Question 5

Jaka jest druga postać symbolu Newtona (n nad k), bez silni z (n − k)?

Accepted Answer

(n nad k) = n(n − 1)(n − 2) ⋅ … ⋅ (n − k + 1) / k!

Question 6

Ile wynosi (n nad k) w zapisie przez (n nad n − k)?

Accepted Answer

(n nad k) = (n nad n − k)

Question 7

Jaką sumę dają (n nad k) + (n nad k + 1)?

Accepted Answer

(n nad k) + (n nad k + 1) = (n + 1 nad k + 1)

Question 8

Ile wynoszą (n nad 0), (n nad 1), (n nad n − 1) i (n nad n)?

Accepted Answer

(n nad 0) = 1, (n nad 1) = n, (n nad n − 1) = n, (n nad n) = 1

Question 9

Jak brzmi wzór dwumianowy Newtona na (a + b)ⁿ dla całkowitego dodatniego n i dowolnych rzeczywistych a, b?

Accepted Answer

(a + b)ⁿ = (n nad 0) aⁿ + (n nad 1) aⁿ⁻¹ b + … + (n nad k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ + … + (n nad n − 1) a bⁿ⁻¹ + (n nad n) bⁿ

Question 10

Ile jest sposobów ustawienia n różnych elementów w ciąg (permutacje)?

Accepted Answer

n!

Question 11

Ile jest sposobów wyboru k elementów spośród n różnych elementów (kombinacje), gdzie 0 ≤ k ≤ n?

Accepted Answer

(n nad k)

Question 12

Ile jest ciągów k (niekoniecznie różnych) wyrazów utworzonych z n różnych elementów (wariacje z powtórzeniami)?

Accepted Answer

nᵏ

Question 13

Ile jest ciągów k różnych wyrazów (1 ≤ k ≤ n) utworzonych z n różnych elementów (wariacje bez powtórzeń)?

Accepted Answer

n! / (n − k)! = n ⋅ (n − 1) ⋅ … ⋅ (n − k + 1)

Question 14

Jakie nierówności spełnia P(A) dla każdego zdarzenia A ⊂ Ω?

Accepted Answer

0 ≤ P(A) ≤ 1

Question 15

Ile wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego P(∅) oraz zdarzenia pewnego P(Ω)?

Accepted Answer

P(∅) = 0, P(Ω) = 1

Question 16

Jaka nierówność zachodzi między P(A) i P(B) dla zdarzeń takich, że A ⊂ B ⊂ Ω?

Accepted Answer

P(A) ≤ P(B)

Question 17

Jak wyrazić prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego A′ przez P(A)?

Accepted Answer

P(A′) = 1 − P(A)

Question 18

Jak brzmi wzór na P(A ∪ B) dla dowolnych zdarzeń A, B ⊂ Ω?

Accepted Answer

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Question 19

W schemacie Bernoullego z prawdopodobieństwem sukcesu p: ile wynosi prawdopodobieństwo porażki q?

Accepted Answer

q = 1 − p

Question 20

Jak brzmi wzór na Pₙ(k), prawdopodobieństwo dokładnie k sukcesów w n próbach schematu Bernoullego (0 ≤ k ≤ n)?

Accepted Answer

Pₙ(k) = (n nad k) ⋅ pᵏ ⋅ qⁿ⁻ᵏ

Question 21

Jak definiuje się prawdopodobieństwo warunkowe P(A|B), gdy P(B) > 0?

Accepted Answer

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

Question 22

Jak brzmi wzór na prawdopodobieństwo całkowite P(A) dla zdarzeń B₁, B₂, …, Bₙ parami rozłącznych, o sumie Ω i P(Bᵢ) > 0?

Accepted Answer

P(A) = P(A|B₁) ⋅ P(B₁) + P(A|B₂) ⋅ P(B₂) + … + P(A|Bₙ) ⋅ P(Bₙ)

Question 23

Jak brzmi wzór Bayesa na P(Bₖ|A) (zdarzenia B₁, …, Bₙ parami rozłączne, o sumie Ω, P(Bᵢ) > 0, P(A) > 0)?

Accepted Answer

Question 24

Jak definiuje się wartość oczekiwaną 𝔼(X) zmiennej losowej X o wartościach x₁, …, xₙ, gdy P(X = xᵢ) = pᵢ?

Accepted Answer

𝔼(X) = x₁ ⋅ p₁ + x₂ ⋅ p₂ + … + xₙ ⋅ pₙ

Question 25

Jak brzmi wzór na średnią arytmetyczną ā liczb a₁, a₂, …, aₙ?

Accepted Answer

ā = (a₁ + a₂ + … + aₙ) / n

Question 26

Jak brzmi wzór na średnią ważoną s̄ liczb a₁, …, aₙ o dodatnich wagach w₁, …, wₙ?

Accepted Answer

s̄ = (w₁ ⋅ a₁ + w₂ ⋅ a₂ + … + wₙ ⋅ aₙ) / (w₁ + w₂ + … + wₙ)

Question 27

Jak brzmi wzór na medianę uporządkowanego niemalejąco zbioru n danych a₁, …, aₙ dla n nieparzystego?

Accepted Answer

a₍ₙ₊₁₎/₂ (środkowy wyraz ciągu)

Question 28

Jak brzmi wzór na medianę uporządkowanego niemalejąco zbioru n danych a₁, …, aₙ dla n parzystego?

Accepted Answer

½ ⋅ (aₙ/₂ + aₙ/₂₊₁) (średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów)

Question 29

Jak brzmi wzór na wariancję σ² liczb a₁, …, aₙ o średniej arytmetycznej ā?

Accepted Answer

σ² = ((a₁ − ā)² + (a₂ − ā)² + … + (aₙ − ā)²) / n

Question 30

Jaki jest drugi wzór na wariancję σ² liczb a₁, …, aₙ o średniej arytmetycznej ā (przez kwadraty liczb)?

Accepted Answer

σ² = ((a₁)² + (a₂)² + … + (aₙ)²) / n − (ā)²

Question 31

Jak brzmi wzór na odchylenie standardowe σ liczb a₁, …, aₙ o średniej arytmetycznej ā?

Accepted Answer

σ = √(((a₁ − ā)² + (a₂ − ā)² + … + (aₙ − ā)²) / n)

Fiszki: Kombinatoryka i prawdopodobieństwo: wzory

Fiszki

Jak sprawdzono tę talię

Źródła

Fiszki: Kombinatoryka i prawdopodobieństwo: wzory

Fiszki

Jak sprawdzono tę talię

Źródła

Więcej darmowych talii

Ciało człowieka

Układ okresowy

Kosmos i fizyka