Integrationsregeln und Hauptsatz: Karteikarten

Question 1

Wann heißt F eine Stammfunktion von f?

Accepted Answer

Wenn F′(x) = f(x) für alle x im Definitionsbereich von f gilt.

Question 2

Welche Form hat jede Stammfunktion von f über einem Intervall I, wenn F eine Stammfunktion ist?

Accepted Answer

F(x) + C mit einer Konstanten C.

Question 3

Wie schreibt man das unbestimmte Integral von f, wenn F eine Stammfunktion von f ist?

Accepted Answer

∫ f(x) dx = F(x) + C

Question 4

Was ist das unbestimmte Integral von f?

Accepted Answer

Die allgemeinste Stammfunktion von f.

Question 5

Wie heißt die Funktion f(x) in ∫ f(x) dx?

Accepted Answer

Integrand.

Question 6

Wie heißt die Variable x in ∫ f(x) dx?

Accepted Answer

Integrationsvariable.

Question 7

Was gilt für ∫ k dx mit einer Konstanten k?

Accepted Answer

∫ k dx = kx + C

Question 8

Wie lautet die Potenzregel für Integrale (mit Bedingung)?

Accepted Answer

Für n ≠ −1: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C

Question 9

Was ist ∫ 1/x dx?

Accepted Answer

ln |x| + C

Question 10

Was ist ∫ eˣ dx?

Accepted Answer

eˣ + C

Question 11

Was ist ∫ cos x dx?

Accepted Answer

sin x + C

Question 12

Was ist ∫ sin x dx?

Accepted Answer

−cos x + C

Question 13

Summenregel für unbestimmte Integrale: Was ist ∫ (f(x) + g(x)) dx, wenn F und G Stammfunktionen von f und g sind?

Accepted Answer

F(x) + G(x) + C

Question 14

Differenzregel für unbestimmte Integrale: Was ist ∫ (f(x) − g(x)) dx, wenn F und G Stammfunktionen von f und g sind?

Accepted Answer

F(x) − G(x) + C

Question 15

Faktorregel für unbestimmte Integrale: Was ist ∫ k·f(x) dx für eine reelle Zahl k, wenn F eine Stammfunktion von f ist?

Accepted Answer

k·F(x) + C

Question 16

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Teil 1: Was gilt für F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, wenn f über [a, b] stetig ist?

Accepted Answer

F′(x) = f(x) über [a, b].

Question 17

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Teil 2: Was ist ∫ₐᵇ f(x) dx, wenn f über [a, b] stetig und F eine Stammfunktion von f ist?

Accepted Answer

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)

Question 18

Was besagt der Mittelwertsatz der Integralrechnung für eine über [a, b] stetige Funktion f?

Accepted Answer

Es gibt mindestens ein c in [a, b] mit f(c) = 1/(b − a) · ∫ₐᵇ f(x) dx.

Question 19

Wie lässt sich ∫ₐᵃ f(x) dx berechnen?

Accepted Answer

∫ₐᵃ f(x) dx = 0

Question 20

Faktorregel für bestimmte Integrale: Was ist ∫ₐᵇ c·f(x) dx für eine Konstante c?

Accepted Answer

c · ∫ₐᵇ f(x) dx

Question 21

Summenregel für bestimmte Integrale: Was ist ∫ₐᵇ [f(x) + g(x)] dx?

Accepted Answer

∫ₐᵇ f(x) dx + ∫ₐᵇ g(x) dx

Question 22

Was gilt für ∫₋ₐᵃ f(x) dx, wenn f stetig und gerade ist (f(−x) = f(x))?

Accepted Answer

∫₋ₐᵃ f(x) dx = 2 · ∫₀ᵃ f(x) dx

Question 23

Was gilt für ∫₋ₐᵃ f(x) dx, wenn f stetig und ungerade ist (f(−x) = −f(x))?

Accepted Answer

∫₋ₐᵃ f(x) dx = 0

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